Question

已知函數f(x)=sin(2x+

π

3

)．
（Ⅰ）在給定的坐標系內，用“五點作圖法”列表畫出函數y=f（x）在一個周期內的圖象；
（Ⅱ）如何由函數f（x）的圖象通過適當的變換得到函數y=sinx的圖象，寫出變換過程．
（Ⅲ）若f(x)=-

3

5

，x∈(0，

π

2

)，求sin2x的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接利用五點法，令2x+

π

3

=0，

π

2

，π，

3π

2

，2π，求出對應的x即可找到五個特殊點的坐標，即可得到函數圖象．
（Ⅱ）直接根據函數圖象的平移變換和伸縮變換規律即可得到；
（Ⅲ）先根據已知條件求出cos（2x+

π

3

）的值，在利用兩角差的余弦公式即可求出結論．

解答：解：（Ⅰ）令2x+

π

3

=0，

π

2

，π，

3π

2

，2π，
解得：x=-

π

6

，

π

12

，

π

3

，

7π

12

，

5π

6

．
所以函數f(x)=sin(2x+

π

3

)過點（-

π

6

，0）（

π

12

，1），（

π

3

，0），（

7π

12

，-1），（

5π

6

，0）．
在題中所給的坐標系中把這五個點用光滑的曲線連起來即可．
（Ⅱ）函數f（x）=sin（2x+

π

3

）的圖象上各點的縱坐標不變，橫坐標伸長到原來的2倍得到f（x）=sin（x+

π

3

），在整體相右平移

π

3

個單位即可得到f（x）=sinx．
（Ⅲ）∵x∈（0，

π

2

），
∴2x+

π

3

∈（

π

3

，

4π

3

），
又因為f（x）=sin（2x+

π

3

）=-

3

5

＜0．
∴cos（2x+

π

3

）=-

1-sin 2(2x+  π 3 )

=-

4

5

．
∴sin2x=sin[（2x+

π

3

）-

π

3

]
=sin（2x+

π

3

）•cos

π

3

-cos（2x+

π

3

）•sin

π

3

=（-

3

5

）×

1

2

-（-

4

5

）×

3

2

=

4 3 -3

10

．

點評：本題主要考查三角函數的平移．三角函數的平移原則為左加右減上加下減．注意分清哪個是平移前的函數，哪個是平移后的函數．