Question

【題目】已知函數

（1）當時，求滿足不等式組的的取值范圍；

（2）當時，不等式恒成立.求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

對函數求導判斷其單調區間,從而可得函數在上為減函數, 而由零點存在性定理知, 使得,進而解不等式取交集即可;

令，時，成立的一個充分條件是:即,化為，構造函數,通過求導判斷其單調性求最值即可求解.

當時,函數，

所以，

當時,,所以函數在上為增函數，

當時,,所以函數在上為減函數，

而

故使得

所以不等式的解集為,

不等式需滿足,

即不等式的解集為，

求交集得的取值范圍為.

令

，

時，成立的一個充分條件是:

即,化為,

令,則,

當時,，即，

當時，

,即，

綜上可知,在上恒成立，

即函數在上單調遞減，

所以函數最大值為，

因為,所以,

當時,因為，所以，

若在上無零點，則在上恒成立,

即函數在上單調遞減,

所以，不合題意舍去；

若在(上有零點，設是最小零點，

則在上不合題意舍去，

綜上可知實數的取值范圍為.