Question

要建造一個容積為2000m³，深為5m的長方體無蓋蓄水池，池壁的造價為95元/m²，池底的造價為135元/m²，若水池底的一邊長為xm，水池的總造價為y元．
（1）把水池總造價y表示為x的函數y=f（x），并寫出函數的定義域．
（2）試證明：函數y=f（x）當x∈（0，20]時是減函數，當x∈[20，+∞）時是增函數
（3）當水池底的一邊長x為多少時，水池的總造價最低，最低造價是多少．

Answer 1

（1）解：由池底的一邊長為xm，則池寬為，池底面積為400m²，
根據水池總造價等于池底造價+池壁造價，可得水池總造價y為：（x＞0）
（2）證明：由（x＞0）
設x₁，x₂＞0且0＜x₂＜x₁≤20
∴，
∵x₁，x₂＞0且0＜x₂＜x₁≤20
∴x₁-x₂＞0，x₁x₂-400＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴當x∈（0，20]時，函數y=f（x）是減函數；
同理x∈[20，+∞）時，函數y=f（x）是增函數．
（3）解：由（2）知當x=20，函數y=f（x）取得最小值f（20）=92000．
答：當水池的長x為20m時，水池的總造價最低，最低造價為92000元．
分析：（1）水池總造價等于池底造價+池壁造價，代入整理即可得到函數y=f（x），同時可得函數的定義域；
（2）利用單調性的證題步驟：取值，作差，變形，定號，下結論即可．設x₁，x₂＞0且0＜x₂＜x₁≤20，作差變形可得f（x₁）＜f（x₂），從而當x∈（0，20]時，函數y=f（x）是減函數；同理x∈[20，+∞）時，函數y=f（x）是增函數．
（3）利用（2）中函數的單調性，即可得結論．
點評：本題以實際問題為載體，考查函數模型的構建，考查函數的單調性，考查函數的最值，體現了學數學，用數學解決實際問題．