Question

要制作一個容積為96πm³的圓柱形水池（無蓋），已知池底的造價為30元/m²，水池側面造價為20元/m²．如果不計其他費用，欲使建造的成本最低，則池底的半徑應為

4

   米．

Answer 1

分析：此題首先需要由實際問題向數學問題轉化，設池底半徑為r，池高為h，成本為y，建立函數關系式，然后利用導數研究函數的最值即可求出所求．

解答：解′：設池底半徑為r，池高為h，成本為y，則：
96π=πr²h⇒h=

96

r2

　
y=30πr²+20×2πrh=10πr（3r+4h）=30π（ r2+

128

r

） 
y′=30π（2r-

128

r2

）　　　　　　　　　
令y′=30π（2r-

128

r2

）=0，得r=4，h=6 
又r＜4時，y′＜0，y=30π（ r2+

128

r

）是減函數；　
r＞4時，y′＞0，y=30π（ r2+

128

r

）是增函數；　
所以r=4時，y=30π（ r2+

128

r

）的值最小，最小值為1440π
故答案為：4．

點評：本題以實際問題為載體，考查建立數學模型的能力及利用導數研究函數的最值，同時考查了計算能力，屬于中檔題．