Question

要制作一個容積為96πm³的圓柱形水池，已知池底的造價為30元/m²，池子側面造價為20元/m²．如果不計其他費用，問如何設計，才能使建造水池的成本最低？最低成本是多少？

Answer 1

解：設池底半徑為r，池高為h，成本為y，則：
96π=πr²h?h=　…（2分）
y=30πr²+20×2πrh=10πr（3r+4h）=30π（） …（4分）
y'=30π（2r-）　　　　　　　　　…（5分）
令y'=30π（2r-）=0，得r=4，h=6 …（6分）
又r＜4時，y'＜0，y=30π（）是減函數(shù)；　…（7分）
r＞4時，y'＞0，y=30π（）是增函數(shù)；　…（8分）
所以r=4時，y=30π（）的值最小，最小值為1440π…（9分）
答：當池底半徑為4米，桶高為6米時，成本最低，最低成本為1440π元．…（10分）
分析：此題首先需要由實際問題向數(shù)學問題轉化，設池底半徑為r，池高為h，成本為y，建立函數(shù)關系式，然后利用導數(shù)研究函數(shù)的最值即可求出所求．
點評：本題考查建立數(shù)學模型的能力及利用導數(shù)研究函數(shù)的最值，同時考查了計算能力，屬于中檔題．