Question

設A、B是雙曲線上的兩點，點N(1，2)是線段AB的中點．

(1)求直線AB的方程；

(2)如果線段AB的垂直平分線與雙曲線相交于C、D兩點，那么A、B、C、D四點是否共圓，為什么?

Answer 1

答案：略
解析：

(1)依題意，可設直線AB的方程為y=k(x－1)＋2，代入，整理得．　　　　　　　　　　　　① 設，，則是方程①的兩個不同的根，所以，且． 由N(1，2)是AB的中點得． ∴． 解得k=1，所以直線AB的方程為y=x＋1． (2)將k=1代入方程①得． 解出． 由y=x＋1得，即A、B的坐標分別為(－1，0)和(3，4)． 由CD垂直平分AB，得直線CD的方程為 y=－(x－1)＋2，即y=3－x， 代入雙曲線方程，整理得．　　　　　　　　　　　② 記，CD的中點為，則是方程②的兩個根，所以，．從而，． ∴ 又 即A、B、C、D四點到點M的距離相等，所以A、B、C、D四點共圓．