Question

設A、B是雙曲線上的兩點，點N（1，2）是線段AB的中點．
（I）求直線AB的方程
（II）如果線段AB的垂直平分線與雙曲線相交于C、D兩點，那么A、B、C、D四點是否共圓？為什么？

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）依題意，記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可設直線AB的方程為y=k（x-1）+2，代入雙曲線方程，化簡可得
（2-k²）x²-2k（2-k）x-（2-k）²-2=0①，由根與系數的關系，可得，而已知N（1，2）是AB的中點得，聯立可得k的值，即可得直線的方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得k的值，計算可得A、B的坐標，由CD垂直平分AB，可得直線CD的方程，代入雙曲線方程，整理得x²+6x-11=0；記C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），以及CD的中點為M（x，y），則x₃，x₄是方程②的兩個根；計算可得，|MA|=|MB|=|MC|=|MD|，即可得么A、B、C、D四點共圓．
解答：解：（I）依題意，記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可設直線AB的方程為y=k（x-1）+2，
代入x²-=1，整理得（2-k²）x²-2k（2-k）x-（2-k）²-2=0①
x₁，x₂則是方程①的兩個不同的根，
所以2-k²≠0，且x₁+x₂=，
由N（1，2）是AB的中點得，
∴k（2-k）=2-k²，
解得k=1，
所以直線AB的方程為y=x+1

（II）將k=1代入方程①得x²-2x-3=0
解出x₁=-1，x₂=3
由y=x+1得y₁=0，y₂=4．
即A、B的坐標分別為（-1，0）和（3，4）．
由CD垂直平分AB，
得直線CD的方程為y=-（x-1）+2，
即y=3-x．
代入雙曲線方程，整理得x²+6x-11=0．②
記C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），以及CD的中點為M（x，y），
則x₃，x₄是方程②的兩個根．所以x₃+x₄=-6，x₃x₄=-11．
從而x=，
y=3-x=6|CD|=
=
∴|MC|=|MD|=
又|MA|=|MB|=
即A、B、C、D四點到點M的距離相等，所以A、B、C、D四點共圓．
點評：本題考查直線與雙曲線的綜合運用，注意解析幾何證明四點共圓問題時，一般轉化為四點或多點到定點的距離相等，即點與點之間的距離來求解．