Question

已知以y=±

3

x為漸近線的雙曲線D：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0 ，b＞0)的左、右焦點分別為F₁、F₂，若P為雙曲線D右支上任意一點，則

|PF1|-|PF2|

|PF1|+|PF2|

的取值范圍是______．

Answer 1

∵雙曲線D：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0 ，b＞0)的漸近線是y=±

3

x，
∴

b

a

=

3

，可得b=

3

a，c=

a2+b2

=2a
∵P為雙曲線D右支上一點，
∴|PF₁|-|PF₂|=2a
而|PF₁|+|PF₂|≥|F₁F₂|=2c
∴0＜

|PF1|-|PF2|

|PF1|+|PF2|

≤

2a

2c

=

a

c

∵c=2a，可得

a

c

=

1

2

∴

|PF1|-|PF2|

|PF1|+|PF2|

的取值范圍是（0，

1

2

]
故答案為：（0，

1

2

]