Question

已知以y=±

3

x為漸近線的雙曲線D：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0 ，b＞0)的左、右焦點分別為F₁、F₂，若P為雙曲線D右支上任意一點，則

|PF1|-|PF2|

|PF1|+|PF2|

的取值范圍是

（0，

1

2

]

．

Answer 1

分析：根據雙曲線D的漸近線是y=±

3

x，得到b=

3

a，從而c=

a2+b2

=2a．再由P為雙曲線D右支上一點，得到|PF₁|-|PF₂|=2a，結合|PF₁|+|PF₂|≥|F₁F₂|，代入式子

|PF1|-|PF2|

|PF1|+|PF2|

，即可得到要求的取值范圍．

解答：解：∵雙曲線D：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0 ，b＞0)的漸近線是y=±

3

x，
∴

b

a

=

3

，可得b=

3

a，c=

a2+b2

=2a
∵P為雙曲線D右支上一點，
∴|PF₁|-|PF₂|=2a
而|PF₁|+|PF₂|≥|F₁F₂|=2c
∴0＜

|PF1|-|PF2|

|PF1|+|PF2|

≤

2a

2c

=

a

c

∵c=2a，可得

a

c

=

1

2

∴

|PF1|-|PF2|

|PF1|+|PF2|

的取值范圍是（0，

1

2

]
故答案為：（0，

1

2

]

點評：本題給出雙曲線的漸近線方程，求它的離心率，并求其右支上一點到兩個焦點的距離差與距離之和的比值的取值范圍，著重考查了雙曲線的基本概念和不等式的基本性質，屬于中檔題．