Question

P、Q、M、N四點都在橢圓x²+=1上，F為橢圓在y軸正半軸上的焦點.已知與共線，與共線，且?=0.求四邊形PMQN的面積的最小值和最大值。

Answer 1

本小題主要考查橢圓和直線的方程與性質，兩條直線垂直的條件，兩點間的距離，不等式的性質等基本知識及綜合分析能力。

解：如圖，由條件知MN和PQ是橢圓的兩條弦，相交于焦點F（0，1），且PQ⊥MN，直線PQ、MN中至少有一條存在斜率，不妨設PQ的斜率為k，又PQ過點F（0，1），

故PQ方程為y=kx+1

將此式代入橢圓方程得

(2+k²)x²+2kx-1=0

設P、Q兩點的坐標分別為（x₁,y₁）,(x₂,y₂)，則

從而  |PQ|²=（x₁-x₂）²+(y₁-y₂)²

          =

亦即   |PQ|=

（i）當k≠0時，MN的斜率為，同上可推得

|MN|=

故四邊形面積

S=|PQ|?|MN|

=

=                           

令，得

因為 

當時，u=2，S=,

且S是以u為自變量的增函數，

所以                                   

（ii）當k=0時，MN為橢圓長軸，|MN|=，|PQ|=，

S=|PQ|?|MN|=2.

綜合（i），（ii）知，四邊形PMQN面積的最大值為2，最小值為。