Question

（本小題滿分12分）

P、Q、M、N四點都在橢圓上,F為橢圓在y軸正半軸上的焦點.已知與共

 

線,且與共線.求四邊形PMQN的面積的最小值和最大值.

 

Answer 1

【答案】

解:如圖，由條件知MN和PQ是橢圓的兩條弦，相交于焦點F(0,1)，且PQ⊥MN，直線PQ、NM中至少有一條存在斜率，不妨設PQ的斜率為.

又PQ過點F(0,1)，故PQ的方程為=+1

將此式代入橢圓方程得(2+)+2－1=0

設P、Q兩點的坐標分別為(，)，(，)，

則

 

從而

 

亦即.…………………………………4分

 

①當≠0時，MN的斜率為－，同上可推得

 

故四邊形面積

 

令=得.…………………………………8分

 

∵=≥2 .當=±1時=2，S=且S是以為自變量的增函數(shù).∴.

 

②當=0時，MN為橢圓長軸，|MN|=2，|PQ|=. ∴S=|PQ||MN|=2.

 

綜合①②知四邊形PMQN的最大值為2，最小值為.………………………………12分

 

【解析】略