Question

已知拋物線C：y²=2px的準線方程為x=-1，直線y=k（x-1）（k＞0）與拋物線C相交于A、B兩點，F為拋物線C的焦點．
（1）若k=1，求線段AB的長；
（2）若

. FA   .

. FB   .

=

2

3

，求k的值．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）利用拋物線C：y²=2px的準線方程為x=-1，可得拋物線的方程為y²=4x，k=1，直線y=x-1與y²=4x聯立可得y²-4y-4=0，求出y，即可求線段AB的長；
（2）若

. FA   .

. FB   .

=

2

3

，設|FA|=2x，|FB|=3x，則A，B到準線的距離為2x，3x，即可求k的值．

解答： 解：（1）∵拋物線C：y²=2px的準線方程為x=-1，
∴拋物線的方程為y²=4x，
k=1，直線y=x-1與y²=4x聯立可得y²-4y-4=0，
∴y=2±2

2

，
∴|AB|=

2

•4

2

=8；
（2）設|FA|=2x，|FB|=3x，則A，B到準線的距離為2x，3x，
∴k=

3x-2x

3x+2x

=

1

5

．

點評：本題考查拋物線方程與定義，考查直線與拋物線的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．