Question

【題目】已知數列，，且對任意n恒成立．

（1）求證：(n)；

（2）求證：(n)．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

（1）利用數學歸納法直接證明，假設當時，成立，則當時，，將代入即可證得：當時，成立，問題得證。

（2）利用數學歸納法證明，先證明時，成立，假設當時， 成立，證明：當時，成立，

因為，可將證明問題轉化成：證明，轉化成證明，再轉化成證明（）成立。構造函數，利用導數即可判函數在上遞增，結合，即可證得：當時，成立，即可證得：當，成立，問題得證。

（1）①當時，

滿足成立.

②假設當時，結論成立.即：成立

下證：當時，成立。

因為

即：當時，成立

由①、②可知，(n)成立。

（2）（ⅰ）當時，成立，

當時，成立，

（ⅱ）假設時（），結論正確，即：成立

下證：當時，成立.

因為

要證，

只需證

只需證：，

只需證：

即證：（）

記

當時，

所以在上遞增，

又

所以，當時，恒成立。

即：當時，成立。

即：當時，恒成立.

所以當，恒成立.

由（ⅰ）（ⅱ）可得：對任意的正整數，不等式恒成立，命題得證.