Question

雙曲線C：=1(a＞0,b＞0)的離心率為2，焦點到雙曲線C的漸近線的距離為.點P的坐標為(0，-2)，過P的直線l與雙曲線C交于不同的兩點M、N.

(1)若PM=2PN,求直線l的方程；

(2)設O為坐標原點，求的取值范圍.

Answer 1

解：雙曲線C的漸近線為bx±ay=0，焦點(c，0)到漸近線的距離d=，得b=．又=2，即a²+b²=4a²，解得a²=4.

∴雙曲線C的方程為=1.                                              

設M(x₁,y₁),N(x₂,y₂).

(1)由，得

又M、N在雙曲線上，

∴

解得y₂=4,x₂=±.

∴直線l的斜率k=.                                        

∴直線l的方程為y=±x-2.                                               

(2)由得(3-m²)x²+4mx-16=0，                   

=(x₁,y₁)·(x₂,y₂)

=(x₁,mx₁-2)·(x₂,mx₂-2)

=(m²+1)x₁x₂-2m(x₁+x₂)+4

=12+.                                                              

又∵Δ=16m²-4(3-m²)(-16)＞0，且3-m≠0，∴-2＜m＜2且m≠±.                 

∴＞52或≤.