Question

設雙曲線C:-y²=1(a＞0)與直線l:x+y=1相交于兩個不同的點A、B.

(1)求雙曲線C的離心率e的取值范圍;

(2)設直線l與y軸的交點為P，且=,求a的值.

Answer 1

思路分析：向量與解析幾何的綜合，主要是通過向量的坐標形式來體現的，在解題過程中，注意將這兩者進行靈活轉換，從而找到最佳解題途徑.

解：(1)由C與l相交于兩個不同的點，知方程組有兩組不同的實數解，消去y²并整理得(1-a²)x²+2a²x-2a²=0.                                                 ①

∴解得0＜a＜且a≠1.雙曲線的離心率e=,

∵0＜a＜且a≠1,∴e＞且e≠,即離心率e的取值范圍為(, )∪(,+∞).

（2）設A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),P(0,1),∵=,∴(x₁,y₁-1)= (x₂,y₂-1).

由此得x₁=x₂,由于x₁、x₂都是方程①的根，且1-a²≠0,所以x₁+x₂=x₂=-,x₁x₂=x₂²=-.

消去x₂,得-=由a＞0,所以a=.

溫馨提示

    在解答直線與圓錐曲線問題時,首先應判斷斜率不存在時，是否滿足題意，然后再設直線方程.據條件合理利用“判別式”確定某些字母的取值范圍，注意它和函數、不等式的綜合應用以及向量的具體應用.