Question

【題目】已知函數f（x）是定義域在R上的奇函數，當x＞0時，f（x）=x2﹣2x．

（1）求出函數f（x）在R上的解析式；

（2）寫出函數的單調區間．

Answer 1

【答案】（1）f（x）=；

（2）則函數的單調遞增區間為為[1，+∞），（﹣∞，﹣1]，函數的單調遞減區間為為[﹣1，1]．

【解析】

試題（1）根據函數f（x）為定義域為R的奇函數，當x＞0時，f（x）=x2﹣2x，我們根據定義域為R的奇函數的圖象必過原點，則f（﹣x）=﹣f（x），即可求出函數f（x）在R上的解析式；

（2）根據（1）中分段函數的解析式，我們易畫出函數f（x）的圖象，利用數形結合進行求解即可．

解：（1）∵函數f（x）是定義域在R上的奇函數，

∴當x=0時，f（0）=0；

當x＜0時，﹣x＞0，則f（﹣x）=x2+2x．

∵f（x）是奇函數，

∴f（﹣x）=﹣f（x）

∴f（﹣x）=x2+2x=﹣f（x），

即f（x）=﹣x2﹣2x．

綜上：f（x）=．

（2）函數f（x）=的圖象如下圖所示：

則函數的單調遞增區間為為[1，+∞），（﹣∞，﹣1]，

函數的單調遞減區間為為[﹣1，1]．