Question

（2011•浙江）已知拋物線C₁：x²=y，圓C₂：x²+（y﹣4）²=1的圓心為點M
（1）求點M到拋物線C₁的準線的距離；
（2）已知點P是拋物線C₁上一點（異于原點），過點P作圓C₂的兩條切線，交拋物線C₁于A，B兩點，若過M，P兩點的直線l垂直于AB，求直線l的方程．

Answer 1

（1）    （2）

（1）由題意畫出簡圖為：
由于拋物線C₁：x²=y準線方程為：y=﹣，圓C₂：x²+（y﹣4）²=1的圓心M（0，4），
利用點到直線的距離公式可以得到距離d==．
（2）設點P（x₀，x₀²），A（x₁，x₁²），B（x₂，x₂²）；
由題意得：x₀≠0，x₂≠±1，x₁≠x₂，
設過點P的圓c₂的切線方程為：y﹣x₀²=k（x﹣x₀）即y=kx﹣kx₀+x₀²①
則，即（x₀²﹣1）k²+2x₀（4﹣x₀²）k+（x₀²﹣4）²﹣1=0
設PA，PB的斜率為k₁，k₂（k₁≠k₂），則k₁，k₂應該為上述方程的兩個根，
∴，；
代入①得：x²﹣kx+kx₀﹣x₀²="0" 則x₁，x₂應為此方程的兩個根，
故x₁=k₁﹣x₀，x₂=k₂﹣x₀
∴k_AB=x₁+x₂=k₁+k₂﹣2x₀=
由于MP⊥AB，∴k_AB•K_MP=﹣1⇒
故P∴．