Question

已知中心在原點，焦點在x軸上的橢圓C的離心率為，且經過點，過點P（2，1）的直線l與橢圓C相交于不同的兩點A，B．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）是否存直線l，滿足？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先設橢圓的標準方程，將點M代入得到一個方程，根據離心率得到一個關系式，再由a²=b²+c²可得到a，b，c的值，進而得到橢圓的方程．
（2）假設存在直線滿足條件，設直線方程為y=k（x-2）+1，然后與橢圓方程聯立消去y得到一元二次方程，且方程一定有兩根，故應△大于0得到k的范圍，進而可得到兩根之和、兩根之積的表達式，再表示出、、，再代入關系式可確定k的值，從而得解．
解答：解：（Ⅰ）設橢圓C的方程為，由題意得
解得a²=4，b²=3，故橢圓C的方程為．
（Ⅱ）若存在直線l滿足條件，由題意可設直線l的方程為y=k（x-2）+1，
由得（3+4k²）x²-8k（2k-1）x+16k²-16k-8=0．
因為直線l與橢圓C相交于不同的兩點A，B，設A，B兩點的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
所以△=[-8k（2k-1）]²-4•（3+4k²）•（16k²-16k-8）＞0．
整理得32（6k+3）＞0．
解得．
又，，
且，即，
所以．即．
所以，解得．
所以．于是存在直線l滿足條件，其的方程為．
點評：本題主要考查橢圓的基本性質和直線與橢圓的綜合題．直線與圓錐曲線的綜合題是高考的重點題型，要著重復習．