Question

【題目】已知拋物線與直線l：y＝kx﹣1無交點，設點P為直線l上的動點，過P作拋物線C的兩條切線，A，B為切點．

（1）證明：直線AB恒過定點Q；

（2）試求△PAB面積的最小值．

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）.

【解析】

（1）借助導數，可求得在A，B兩點的切線方程PA，PB，由于P點在兩條切線上，結合方程，可得直線AB：kx0﹣1+y＝xx0，可得定點.

（2）將直線AB與拋物線聯立，利用弦長公式，點到直線距離公式表示三角形的底和高，繼而表示面積，配方，求解最小值，即可.

（1）由求導得y′＝x，

設A（x1，y1），B（x2，y2），

其中

則kPA＝x1，

PA：y﹣y1＝x1（x﹣x1），

設P（x0，kx0﹣1），

代入PA直線方程得kx0﹣1+y1＝x1x0，

PB直線方程同理，

代入可得kx0﹣1+y2＝x2x0，

所以直線AB：kx0﹣1+y＝xx0，

即x0（k﹣x）﹣1+y＝0，所以過定點（k，1）；

（2）直線l方程與拋物線方程聯立，

得到x2﹣2kx+2＝0，

由于△<0,k2＜2．

將AB：y＝xx0﹣kx0+1代入，

得，

所以，

，

設點P到直線AB的距離是d，

則，

所以，

所以面積最小值為．