Question

（2012•瀘州一模）數列{a_n}，{b_n}（n=1，2，3…）由下列條件確定：①a₁＜0，b₁＞0；②當k≥2時，a_k與b_k滿足：當a_k-1+b_k-1≥0時，a_k=a_k-1，bk=

ak-1+bk-1

2

；當a_k-1+b_k-1＜0時，ak=

ak-1+bk-1

2

，b_k=b_k-1．
（Ⅰ）若a₁=-1，b₁=1，求a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）在數列{b_n}中，若b1＞b2＞…＞bs(s≥3，且s∈N*)，用a₁，b₁表示b_k（k∈[1，2，…，s]）并求

s

i=1

bi．

Answer 1

分析：（1）根據a₁+b₁≥0，可得 a₂=a₁=-1，b₂=

a1+ b1

2

=0；根據a₂+b₂=-1＜0，可得 a₃ 和 b₃ 的值；再根據 a₃+b₃=-

1

2

＜0，求得a₄=

a3+b3

2

的值．
（2）通過分類討論可知，所以無論哪種情況，都有bk-ak=

bk-1-ak-1

2

，從而可獲得數列b_n-a_n為等比數列進而可獲得問題的解答；結合條件經分類討論可知

ak-1+bk-1

2

≥0，對于2≤k≤n，a_k=a_k-1，b_k=

ak-1+bk-1

2

從而a_n=a_n-1 =a₁．由（1）即可獲得問題的結論．

解答：解：：（1）若a₁=-1，b₁=1，滿足若a₁+b₁≥0，則 a₂=a₁=-1，b₂=

a1+ b1

2

=0．
此時，a₂+b₂=-1＜0，a₃=

a2+b2

2

=-

1

2

，b₃=b₂=0．
此時 a₃+b₃=-

1

2

＜0，a₄=

a3+b3

2

=-

1

4

．
綜上可得，a₂=-1，a₃=-

1

2

，a₄=-

1

4

．
（2）當

ak-1+bk-1

2

≥0時，bk-ak=

ak-1+bk-1

2

-ak-1=

bk-1-ak-1

2

；
當

ak-1+bk-1

2

＜0時，bk-ak=bk-1-

ak-1+bk-1

2

=

bk-1-ak-1

2

，
所以無論哪種情況，都有bk-ak=

bk-1-ak-1

2

．
因此，數列{b_k-a_k}是首相為b₁-a₁，公比為

1

2

的等比數列，∴bn-an=(b1-a1)•(

1

2

)n-1．
由b₁＞b₂＞＞b_n（n≥2）時，b_k≠b_k-1（2≤k≤n），由上可知，

ak-1+bk-1

2

＜0不成立，
所以

ak-1+bk-1

2

≥0，對于2≤k≤n，a_k=a_k-1，b_k=

ak-1+bk-1

2

，于是a_n=a_n-1 =a₁，
由此可得，b_k=a₁+（b₁-a₁）•(

1

2

)s-1(k=2，3，…，s)．
故

s

i=1

bi=na₁+（b₁-a₁）•（1+

1

2

+

1

4

+

1

8

+…+

1

2s-1

）=na₁+（b₁-a₁）•[2-(

1

2

)s-1]=（n-2）a₁+2b₁-（b₁-a₁）•(

1

2

)s-1．

點評：本題考查的是數列與不等式的綜合類問題，在解答的過程當中充分體現了分類討論的思想、數列求和的知識以及問題轉化的知識，值得同學們體會和反思，屬于難題．