Question

已知.

（1）當時，求曲線在點處的切線方程；

（2）若在處有極值，求的單調遞增區間；

（3）是否存在實數，使在區間的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

 

Answer 1

【答案】

(1)；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：(1)考查了導數的幾何意義，先求出切線的斜率，再用點斜式寫方程；（2）由求得，得令結合函數的定義域求解即可；（3）首先假設存在實數滿足題意，分三種情況研究函數的單調性尋找其最小值,是對函數單調性的考查.

試題解析：（1）由已知得的定義域為，

因為，所以當時，，所以，

因為，所以                       2分

所以曲線在點處的切線方程為

即.                          4分

（2）因為處有極值，所以，

由（1）知所以

經檢驗，時在處有極值.                         6分

所以令解得；

因為的定義域為，所以的解集為，

即的單調遞增區間為.                         8分

（3）假設存在實數a，使有最小值3，

①當時，因為，

所以在上單調遞減，

，解得（舍去）                   10分

②當上單調遞減，在上單調遞增，

，滿足條件.                   12分

③當，

所以 上單調遞減，，

解得，舍去.

綜上，存在實數，使得當有最小值3.              14分

考點：1.導數的幾何意義；2.切線方程；3.導數法研究函數單調性；3.函數的最值.