Question

已知雙曲線過點（3，-2），且與橢圓4x²+9y²=36有相同的焦點．
（1）求雙曲線的標準方程；
（2）求以雙曲線的右準線為準線的拋物線的標準方程
（3）求雙曲線的左準線與拋物線圍成的面積．

Answer 1

分析：（1）設雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1，（a＞0，b＞0）．利用橢圓的方程可得c=

9-4

=

5

．l利用題意可得

a2+b2=5 9 a2 - 4 b2 =1

，解得即可；
（2）設拋物線的標準方程為y²=-2px，由雙曲線的標準方程可得其右準線方程為x=

a2

c

=

3

5

=

p

2

．解出p即可得出；
（3）利用微積分基本定理可得S=2

∫

0 - 3 5

- 12 5 5 x

dx，解出即可．

解答：解：（1）設雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1，（a＞0，b＞0）
由橢圓4x²+9y²=36化為

x2

9

+

y2

4

=1，∴c=

9-4

=

5

．
由題意可得

a2+b2=5 9 a2 - 4 b2 =1

，解得

a2=3 b2=2

．
∴雙曲線的方程為

x2

3

-

y2

2

=1；
（2）設拋物線的標準方程為y²=-2px．
由雙曲線的標準方程可得其右準線方程為x=

a2

c

=

3

5

．
∴

3

5

=

p

2

，解得p=

6 5

5

．
∴拋物線的方程為y2=-

12 5

5

x；
（3）所求的面積S=2

∫

0 - 3 5

- 12 5 5 x

dx=2×

2

3

12 5 5

(-x)

3

2

|

0 - 3 5

=

24

5

．

點評：熟練掌握圓錐曲線的標準方程及其性質，微積分基本定理等是解題的關鍵．