Question

已知橢圓

x2

25

+

y2

16

=1與雙曲線

x2

m2

-

y2

n2

=1（m＞0，n＞0）具有相同的焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂，設(shè)兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)為Q，∠QF₁F₂=90°，則雙曲線的離心率為

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)橢圓的方程可求得其半焦距，利用橢圓和雙曲線有相同的焦點(diǎn)可求得雙曲線的半焦距，把x=3代入橢圓方程求得Q的坐標(biāo)，利用∠QF₁F₂=90°推斷出QF₁⊥x軸，進(jìn)而可求得|QF₁|，利用橢圓的定義求得|QF₂|，進(jìn)而利用雙曲線的定義求得雙曲線的長(zhǎng)軸的長(zhǎng)，求得m的值，最后利用e=

c

m

求得答案．

解答：解：根據(jù)橢圓方程可得橢圓的半焦距c=

25-16

=3
把x=3代入橢圓方程求得y=±

16

5

∴|QF₁|=

16

5

，|QF₂|=10-

16

5

=

34

5

根據(jù)雙曲線的定義可知2m=

34

5

-

16

5

=

18

5

∴m=

9

5

∴e=

c

m

=

5

3

故答案為：

5

3

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，圓錐曲線的共同特征．考查了學(xué)生對(duì)圓錐曲線基礎(chǔ)知識(shí)的綜合掌握．