Question

已知動點P(x，y)在橢圓

x2

25

+

y2

16

=1上，若A點坐標為(1，0)，|

AM

|=1且

PM

•

AM

=0，則|

PM

|的最小值是

119

3

．

Answer 1

分析：由題意可知點M的軌跡為以點A為圓心，1為半徑的圓，PM為圓的切線，則|PM|²=|PA|²-1，要使得|

PM

|的值最小，則要

PA

的值最小，而

PA

的最小值，根據橢圓的性質可求．

解答：解：由||

PM

||=1可知點M的軌跡為以點A為圓心，1為半徑的圓，
∵

PM

•

AM

=0
∴過點P作該圓的切線PM，則|PA|²=|PM|²+|AM|²，得|PM|²=|PA|²-1，
∴要使得|

PM

|的值最小，則要|

PA

|的值最小，
因為P(x，y)在

x2

25

+

y2

16

=1上，
而|

PA

|=

(x-1)2+y2

=

9 25 x2-2x+17

，當x=

25

9

時|

PA

|取得最小值為：

128 9

，
此時|

PM

|=

|PA|2-|AM|2

=

128 9 -1

=

119

3

，
故答案為：

119

3

．

點評：本題考查求最值過程中利用三角形兩邊之差小于等于第三邊來取得最值，又要結合橢圓的定義，很關鍵．