Question

【題目】已知定點，動點P是圓M：上的任意一點，線段NP的垂直平分線和半徑MP相交于點Q．

求的值，并求動點Q的軌跡C的方程；

若圓的切線l與曲線C相交于A，B兩點，求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）3

【解析】

推導出為定值根據橢圓定義得動點Q的軌跡是以點M、N為焦點的橢圓且，即，，，由此能求出點Q的軌跡C的方程．

設切線方程為，由直線與圓相切，得由，得：，利用根的判別式、韋達定理、弦長公式，結合已知條件能求出的面積最大值．

解：由已知條件得，又，為定值．

根據橢圓定義得動點Q的軌跡是以點M、N為焦點的橢圓．

且，即，，，

點Q的軌跡C的方程為：．

直線l不可能與x軸平行，則可設切線方程為，

由直線與圓相切，得，

設，，

由，消去x得：，

，

，．

，

當且僅當，即時等號成立．

此時，，又，

，時，的面積最大，最大值為3．