Question

已知F₁、F₂分別是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點，右焦點F₂（c，0）到上頂點的距離為2，若a²=

6

c，
（1）求此橢圓的方程；
（2）點A是橢圓的右頂點，直線y=x與橢圓交于M、N兩點（N在第一象限內），又P、Q是此橢圓上兩點，并且滿足(

NP

| NP |

+

NQ

| NQ |

)•

F1F2

=0，求證：向量

PQ

與

AM

共線．

Answer 1

分析：（1）利用條件找到關于右焦點F₂（c，0）到上頂點的距離為2和a²=

6

c，找到關于a，b，c的三個方程求出a，b，c即可．
（2）由(

NP

| NP |

+

NQ

| NQ |

)•

F1F2

=0?(

NP

| NP |

+

NQ

| NQ |

)與∠PNQ的平分線平行?∠PNQ的平分線垂直于x軸；再把直線方程與橢圓方程聯立，求出直線PQ與直線AM的斜率，利用斜率的關系得結論即可．

解答：解：（1）由題知：

a2= 6 c a=2 a2=b2+c2

?

a2=4 b2= 4 3

所以

x2

4

+

3y2

4

=1（4分）
（2）因為：(

NP

| NP |

+

NQ

| NQ |

)•

F1F2

=0，
從而(

NP

| NP |

+

NQ

| NQ |

)與∠PNQ的平分線平行，
所以∠PNQ的平分線垂直于x軸；
由

y=x x2 4 + 3y2 4 =1

；得M（-1，-1）；N（1，1）
不妨設PN的斜率為k，則QN的斜率-k；因此PN和QN的方程分別為：
y=k（x-1）+1、y=-k（x-1）+1；其中k≠0；（8分）
由

y=k(x-1)+1 x2 4 + 3y2 4 =1

得；
（1+3k²）x²-6k（k-1）x+3k²-6k-1=0（*）
因為N（1，1）在橢圓上；所以x=1是方程（*）的一個根；
從而；xP=

3k2-6k-1

1+3k2

（10分）
同理：xQ=

3k2-6k-1

1+3k2

；
從而直線PQ的斜率kPQ=

yP-yQ

xP-xQ

=

1

3

；
又A（2，0）、M（-1，-1）；
所以k_AM=

1

3

；所以k_PQ=k_AM；所以向量

PQ

與

AM

共線．（14分）

點評：本題考查直線和圓錐曲線的綜合應用以及橢圓方程的求法．關鍵是看清題中給出的條件，靈活運用韋達定理，向量和的坐標和點的坐標的關系．