Question

（2009•臨沂一模）已知函數(shù)f（x）=

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3

x³-x²+ax-a（a∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a=-3時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）的圖象與x軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）當(dāng)a=-3時(shí)f'（x）=x²-2x-3，可得f'（x）的零點(diǎn)為x₁=-1、x₂=3，分別在區(qū)間（-∞，-1）、（-1，3）和（3，+∞）內(nèi)討論f'（x）的正負(fù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)f（x）的極值；
（II）根據(jù)題意，求導(dǎo)數(shù)得f'（x）=x²-2x+a，從而得到a＜1時(shí)△＞0，方程f'（x）=0的兩個(gè)不相等的實(shí)根
x₁、x₂滿(mǎn)足x₁＜x₂，x₁+x₂=2且x₁x₂=a．化簡(jiǎn)f'（x₁）=0得到a=-x₁²+2x，從而得到f（x₁）=

1

3

x₁[x₁³+3（a-2）]，同理得f（x₂）=

1

3

x₂[x₂³+3（a-2）]．由此將f（x₁）f（x₂）表示成關(guān)于a的式子，結(jié)合a²-3a+3＞0解得得a＜0，即得滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（I）當(dāng)a=-3時(shí)，f（x）=

1

3

x³-x²-3x+3
∴f'（x）=x²-2x-3．
令f'（x）=0，得x₁=-1，x₂=3┉┉┉┉┉┉┉┉（2分）
當(dāng)x＜-1或x＞3時(shí)，f'（x）＞0；當(dāng)-1＜x＜3時(shí)，f'（x）＜0；
∴在f（x）在區(qū)間（-∞，-1）和（3，+∞）上單調(diào)遞增；
在區(qū)間（-1，3）上單調(diào)遞減；┉┉┉┉┉（4分）
∴當(dāng)x=-1時(shí)，f（x）取得極大值為f（-1）=

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3

；當(dāng)x=3時(shí)，f（x）取得極小值為f（3）=-6．┉┉（6分）
（II）∵f'（x）=x²-2x+a，∴△=4-4a=4（1-a）．┉┉┉┉┉┉┉┉（7分）
①若a≥1，則△≤0可得f'（x）≥0在R上恒成立，f（x）在R上單調(diào)遞增；
此時(shí)函數(shù)的圖象與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意．┉┉┉┉┉┉（9分）
②若a＜1，則△＞0，
f'（x）=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，不妨設(shè)為x₁、x₂且x₁＜x₂
則x₁+x₂=2且x₁x₂=a
當(dāng)x變化時(shí)，f'（x）、f（x）的取值情況如下表：

x	（-∞，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

∵x₁²-2x₁+a=0，可得a=-x₁²+2x，
∴f（x₁）=

1

3

x₁³-x₁²+ax₁-a=

1

3

x₁³-x₁²+ax₁+x₁²-2x₁
=

1

3

x₁³+（a-2）x₁=

1

3

x₁[x₁³+3（a-2）]，┉┉┉┉┉┉┉┉（11分）
同理可得f（x₂）=

1

3

x₂[x₂³+3（a-2）]．
∴f（x₁）f（x₂）=

1

9

x₁x₂[x₁³+3（a-2）][x₂³+3（a-2）]
=

4

9

a（a²-3a+3），┉┉┉┉┉┉┉┉（13分）
令f（x₁）f（x₂）＜0，結(jié)合a²-3a+3＞0得a＜0
此時(shí)f（x）的圖象與x軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)．
綜上所述，a的取值范圍是（-∞，0）┉┉┉┉┉（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題給出三次多項(xiàng)式函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，并討論函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題．著重考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．