Question

已知橢圓C的焦點在軸上，它的一個頂點恰好是拋物線的焦點，離心率等于．

    (Ⅰ)求橢圓C的方程。

    (Ⅱ)過橢圓的右焦點F作直線，交橢圓C于A、B兩點，交軸于點，若，求證為定值．

Answer 1

解：(Ⅰ)設橢圓C的方程為，則由題意知．

    ∴,即.∴

∴橢圓的方程為．  

   (Ⅱ)方法一：設、、點的坐標分別為，，．又易知點的坐標為．  

∵  ∴．

∴．

將點坐標代到橢圓方程中，得．

去分母整理得．

同理，由可得：．

∴，是方程的兩個根，

∴． 

方法二：設、、點的坐標分別為，，．又易知 點的坐標為．

顯然直線，存在斜率，設直線，的斜率為，則直線的方程是．

將直線的方程代入到橢圓的方程中，消去并整理得

2)．

       ∴，.

       又∵，，將各點坐標代入得

           

  ∴．