Question

設{a_n}是等差數列，從{a₁，a₂，…，a₂₀}中任取3個不同的數，使這3個數仍成等差數列，則這樣不同的等差數列的個數最多有

180

個．

Answer 1

分析：設新數列的公差為m，當確定了m，如果再確定了第一項，則第二和第三項也就確定了，因此只考慮如何選擇第一項．列舉當m=d時，a₁₉和a₂₀不能做第一項，能做第一項的有18種結果，以此類推得到共有的數列數，再有把數列的公差變化為列舉的公差的相反數，又有90個數列，相加得到結果．

解答：解：設新數列的公差為m，原來數列的公差是d，當確定了m，如果再確定了第一項，
則第二和第三項也就確定了，因此只考慮如何選擇第一項．
m=d時，a₁₉和a₂₀不能做第一項，能做第一項的有18種結果，
m=2d，a₁₇至a₂₀不能做第一項，有16種結果，
m=3d，a₁₅至a₂₀不能做第一項，有14種結果，
m=4d，a₁₃至a₂₀不能做第一項，有12種結果，
m=5d，a₁₁至a₂₀不能做第一項，有10種結果，
以此類推m=9d，a₃至a₂₀不能做第一項，有2種結果，
當m大于9d，則不能選出滿足題意的數列．
∴總共個數=2+4+6+8+…+18=90，
當數列的公差與列舉的公差互為相反數時，又有90個結果，
∴共有90+90=180
故答案為：180．

點評：本題考查等差數列的性質，考查利用排列組合解決實際問題，考查分類計數原理的應用，本題是一個綜合題目，這種題目分類的情況比較多，是一個易錯題．