Question

在△ABC中角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且A=B，

AB

•

AC

=2．
（Ⅰ）求邊c的長；
（Ⅱ）若|

AB

+

AC

|=2

3

，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由

AB

•

AC

=2，可得 cb•cosA=2，再利用余弦定理 cosA=

b2+c2-a 2

2bc

，求得邊c的長．
（Ⅱ）把 |

AB

+

AC

|=2

3

，平方化簡可得c²+b²+4=12，由（Ⅰ）知 c=2，可得△ABC是邊長為2的正三角形，由此求得△ABC的面積．

解答：解：（Ⅰ）由

AB

•

AC

=2，可得 cb•cosA=2，再由余弦定理 cosA=

b2+c2-a 2

2bc

，…（2分）
可得 b²+c²-a²=4． 
又A=B時，有 a=b，所以，c=2．…（6分）
（Ⅱ）把 |

AB

+

AC

|=2

3

，平方可得，|

AB

|2+|

AC

|2 + 2•

AB

•

AC

=12，…（8分）
即 c²+b²+4=12．
由（Ⅰ）知 c=2，所以 b=2，…（10分）
所以，a=b=c=2，△ABC是邊長為2的正三角形，
所以，S_△ABC=

1

2

•ab•sinC=

1

2

×2×2×

3

2

=

3

．…（12分）

點評：本題主要考查余弦定理，本題主要考查兩個向量的數量積的定義，求向量的模，屬于中檔題．