Question

如圖l，在正方形ABCD中，AB=2，E是AB邊的中點，F是BC邊上的一點，對角線AC分別交DE、DF于M、N兩點．將ADAE，CDCF折起，使A、C重合于A點，構成如圖2所示的幾何體．
（I）求證：A′D⊥面A′EF；
（Ⅱ） 試探究：在圖1中，F在什么位置時，能使折起后的幾何體中EF∥平面AMN，并給出證明．

Answer 1

證明：（Ⅰ）∵A′D⊥A′E，A′D⊥A′F，
又A′E∩A′F=A′，A′E面A′EF，A′F面A′EF，
∴A′D⊥面A′EF．                             
（Ⅱ）當點F為BC的中點時，EF∥面A′MN．證明如下：
當點F為BC的中點時，在圖（1）中，E，F分別是AB，BC的中點，
所以EF∥AC，即在圖（2）中有EF∥MN．                   
又EF面A′MN，MN面A′MN，
所以EF∥面A′MN．