Question

如圖l，在正方形ABCD中，AB=2，E是AB邊的中點，F是BC邊上的一點，對角線AC分別交DE、DF于M、N兩點．將ADAE，CDCF折起，使A、C重合于A點，構成如圖2所示的幾何體．
（I）求證：A′D⊥面A′EF；
（Ⅱ）試探究：在圖1中，F在什么位置時，能使折起后的幾何體中EF∥平面AMN，并給出證明．

Answer 1

證明：（Ⅰ）∵A′D⊥A′E，A′D⊥A′F，
又A′E∩A′F=A′，A′E?面A′EF，A′F?面A′EF，
∴A′D⊥面A′EF．
（Ⅱ）當點F為BC的中點時，EF∥面A′MN．
證明如下：當點F為BC的中點時，
在圖（1）中，E，F分別是AB，BC的中點，
所以EF∥AC，
即在圖（2）中有EF∥MN．
又EF?面A′MN，MN?面A′MN，
所以EF∥面A′MN．
分析：（Ⅰ）由題意可得，A′D⊥A′E，A′D⊥A′F，A′E∩A′F=A′，利用線面垂直的判定定理即可證得結論；
（Ⅱ）當點F為BC的中點時，EF∥面A′MN．在圖（1）中，E，F分別是AB，BC的中點，可得EF∥AC，而M∈AC，N∈AC，從而可得EF∥MN，繼而有EF∥平面AMN．
點評：本題考查直線與平面垂直的判定與直線與平面平行的判定，正確理解題意，將圖形折起是基礎，熟練應用線面垂直與線面平行的判定定理是解決問題的關鍵，屬于中檔題．