Question

如圖，四棱錐E-ABCD中，底面ABCD為正方形，EC⊥平面ABCD，AB=

2

，CE=1，G為AC與BD交點，F為EG中點，
（Ⅰ）求證：CF⊥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角A-BE-D的大�。�

Answer 1

分析：（Ⅰ）先用BD垂直于平面ACE證出CF⊥BD，在直角三角形ECG中證明CF⊥EG，即可由線面垂直的判定定理證明CF⊥平面BDE；
（Ⅱ）本題作二面角的平面角不易作出，但圖形的結構易于建立空間坐標系，故建立如圖的空間坐標系，求出兩個平面的法向量由數量積公式求解二面角即可

解答：解：（Ⅰ）證明：∵ABCD為正方形，AB=

2

，
∴AC=2，AC⊥BD，則CG=1=EC，
∵又F為EG中點，∴CF⊥EG．
∵EG⊥面ABCD，AC∩BD=G，BD⊥平面ECF，
∴CF⊥BDBD∩EG=G，∴CF⊥平面BDE （6分）
（Ⅱ）建立如圖所示的空間直角坐標系C（0，0，0），F(

2

4

，

2

4

，

1

2

)，B(0，

2

，0)[，A(

2

，

2

，0)，E（0，0，1）
由（Ⅰ）知，

CF

=(

2

4

，

2

4

，

1

2

)為平面BDE的一個法向量 （9分）
設平面ABE的法向量n=（x，y，z），
則n•

BA

=0，n•

BE

=0即

( 2 ，0，0)(x，y，z)=0 (0，- 2 ，1)(x，y，z)=0

∴x=0且z=

2

y∴n=(0，1，

2

)（11分）
從而cos＜n，

CF

＞=

n• CF

|n|•| CF |

=

3

2

∴二面角A-BE-D的大小為

π

6

．（13分）

點評：本題考查用空間向量求平面間的夾角，求解本題的關鍵是建立空間坐標系，將兩個平面的法向量求出，用數量積公式求解即可，空間向量求二面角其優勢比較明顯，建 系設標用公式，思路簡單便于操作，比用幾何法又要作圖還要證明，思維量小了很多，但同時也可以發現用向量法做題，運算量偏大．