Question

如圖，四棱錐E-ABCD中，面ABE⊥面ABCD，
底面ABCD是直角梯形，側面ABE是等腰直角三角形．且AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC=2，EA⊥EB．
（1）判斷AB與DE的位置關系；
（2）求三棱錐C-BDE的體積；
（3）若點F是線段EA上一點，當EC∥平面FBD時，求EF的長．

Answer 1

分析：（1）取AB中點O，連結EO，DO，證OE⊥AB，OD⊥AB，可證AB⊥平面EOD，由線面垂直的性質可得AB⊥ED；
（2）證明EO⊥平面ABCD，求得EO長，利用V_C-BDE=V_E-BCD求解；
（3）連接AC、BD交于點，由EC∥平面FBD，得EC∥FM，根據△DMC與△BMA相似，可得MA=2MC，即AM=2MC，從而得AF=2FE，計算EA可得EF．

解答：解：（1）證明：取AB中點O，連結EO，DO．
∵EB=EA，∴EO⊥AB．
∵四邊形ABCD為直角梯形，AB=2CD=2BC，AB⊥BC，
∴四邊形OBCD為正方形，∴AB⊥OD，又OD∩OE=O，
∴AB⊥平面EOD，ED?平面EOD，∴AB⊥ED；       
（2）由EO⊥AB，平面ABE⊥面ABCD，平面ABE⊥平面ABCD=AB，
∴EO⊥平面ABCD，EO=

1

2

AB=1，BC=CD=1，
∴VC-BDE=VE-CBD=

1

3

×(2×1×1)×1=

1

6

，
（3），連接AC、BD交于點，平面ACE∩平面FBD=FM．
∵EC∥平面FBD，∴EC∥FM．
在梯形ABCD中，有△DMC與△BMA相似，可得MA=2MC，
∴AM=2MC，∴AF=2FE，
EA=

2

2

×2=

2

，
∴EF=

1

3

EA=

2

3

．

點評：本題考查線面垂直的性質與判定，考查了棱錐的體積計算與距離的求法，考查了學生的識圖能力與計算能力．