【題目】設函數
，
.
(1)當
(
為自然對數的底數)時，求曲線
在點
處的切線方程；
(2)討論函數
的零點的個數；
(3)若對任意
，
恒成立，求實數
的取值范圍.
【答案】(I) 
；(II)見解析；（III）
。
【解析】試題分析：（1）當
時，
，
，由此利用導數性質能求出
的極小值；（2）由
，得
，令
，則
，
，由此利用導數性質能求出函數
零點的個數；（3）當
時，
在
上恒成立，由此能求出
的取值范圍.
試題解析：(1)當時，，所以
， 
，切點坐標為
所以曲線
在點
處的切線方程為
.
(2)因為函數
令
，得
，設
所以
，當
時，
，此時
在
上為增函數；當
時，
，此時在
上為減函數，所以當
時，取極大值
，
令
，即
，解得
或
，由函數的圖像知：
當
時，函數
和函數
無交點；
當
時，函數和函數有且僅有一個交點；
當
時，函數和函數有兩個交點；
④當
時，函數和函數有且僅有一個交點。
綜上所述，當時，函數
無零點；
當或時，函數有且僅有一個零點
當時，函數有兩個零點
（3）對任意
恒成立，等價于
恒成立，設
則
在上單調遞減，所以
在上恒成立，所以
在上恒成立，因為
，所以
，當且僅當
時，
，
所以實數
的取值范圍.
孟建平小學滾動測試系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知A={x| 
＜3x＜9}，B={x|log2x＞0}．
（1）求A∩B和A∪B；
（2）定義A﹣B={x|x∈A且xB}，求A﹣B和B﹣A．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】一條寬為
的兩平行河岸有村莊
和供電站
，村莊
與
的直線距離都是
， 
與河岸垂直，垂足為
現要修建電纜，從供電站
向村莊
供電．修建地下電纜、水下電纜的費用分別是
萬元
、
萬元
.
(1) 如圖①,已知村莊
與
原來鋪設有電纜
，現先從
處修建最短水下電纜到達對岸后后，再修建地下電纜接入原電纜供電，試求該方案總施工費用的最小值；
(2) 如圖②，點
在線段
上，且鋪設電纜的線路為
.若
，試用
表示出總施工費用
（萬元）的解析式，并求
的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】△ABC的三個內角A，B，C對應的邊分別a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA成等差數列，則角B等于（ ）
A.30°
B.60°
C.90°
D.120°
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