已知雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)與橢圓
的焦點(diǎn)重合,且該橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為
,
是橢圓上的的動(dòng)點(diǎn).
(1)求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足:
,直線(xiàn)
與
的斜率之積為
,求證:存在定點(diǎn)
,
使得為定值,并求出
的坐標(biāo);
(3)若在第一象限,且點(diǎn)
關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),點(diǎn)
在
軸的射影為
,連接
并延長(zhǎng)交橢圓于
點(diǎn),求證:以
為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)
.
(1);(2)存在
;(3)證明過(guò)程詳見(jiàn)試題解析.
【解析】
試題分析:(1)由雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)與橢圓
的焦點(diǎn)重合求出橢圓中的
,再由
,求出所求橢圓方程為
;(2)先設(shè)
,由
,結(jié)合橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以得到
使得
為定值;(3)要證明以
為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)
,就是證明
,詳見(jiàn)解析.
試題解析:(1)解:由題設(shè)可知:雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)為
,
所以橢圓中的
又由橢圓的長(zhǎng)軸為4得
故
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:
(2)證明:設(shè),由
可得:
由直線(xiàn)與
的斜率之積為
可得:
,即
由①②可得:…6分
M、N是橢圓上,故
故,即
由橢圓定義可知存在兩個(gè)定點(diǎn),使得動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)距離和為定值
;
(3)證明:設(shè)
由題設(shè)可知
由題設(shè)可知斜率存在且滿(mǎn)足
.……③
將③代入④可得:…⑤
點(diǎn)在橢圓
,故
所以
因此以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)
.
考點(diǎn):直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
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9y2 |
8 |
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2 |
3 |
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r1 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
x2 |
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1 |
2 |
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OA |
OB |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
(本小題滿(mǎn)分13分)
如圖,已知橢圓的離心率為
,以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的
左、右焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的周長(zhǎng)為
.一等軸雙曲線(xiàn)的頂點(diǎn)是該橢
圓的焦點(diǎn),設(shè)為該雙曲線(xiàn)上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn),直線(xiàn)
和
與橢圓的交點(diǎn)
分別 為和
(Ⅰ)求橢圓和雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)直線(xiàn)、
的斜率分別為
、
,證明
;
(Ⅲ)是否存在常數(shù),使得
恒成立?
若存在,求的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2012-2013學(xué)年上海市浦東新區(qū)高三4月高考預(yù)測(cè)(二模)理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
(1)設(shè)橢圓:
與雙曲線(xiàn)
:
有相同的焦點(diǎn)
,
是橢圓
與雙曲線(xiàn)
的公共點(diǎn),且
的周長(zhǎng)為
,求橢圓
的方程;
我們把具有公共焦點(diǎn)、公共對(duì)稱(chēng)軸的兩段圓錐曲線(xiàn)弧合成的封閉曲線(xiàn)稱(chēng)為“盾圓”.
(2)如圖,已知“盾圓”的方程為
.設(shè)“盾圓
”上的任意一點(diǎn)
到
的距離為
,
到直線(xiàn)
的距離為
,求證:
為定值;
(3)由拋物線(xiàn)弧:
(
)與第(1)小題橢圓弧
:
(
)所合成的封閉曲線(xiàn)為“盾圓
”.設(shè)過(guò)點(diǎn)
的直線(xiàn)與“盾圓
”交于
兩點(diǎn),
,
且
(
),試用
表示
;并求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
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