Question

【題目】【2017開封高三模擬理】如圖，在等腰梯形ABCD中，AB＝2DC＝2，∠DAB＝60°，E為AB的中點．將△ADE與△BEC分別沿ED、EC向上折起，使A、B重合于點P，則三棱錐P-DCE的外接球的體積為( )

A． B． C． D．

Answer 1

【答案】A

【解析】由于∠DAB＝60°，則三棱錐P—DCE各邊長度均為1，那么三棱錐P—DCE為正三棱錐，P點在底面DCE的投影為等邊△DCE的中心，設中心為O，則有OD=OE=OC=，在直角△POD中，OP2=PD2－OD2=，即OP=，由于外接球的球心必在OP上，設球心位置為O1，則O1P=O1D，設O1P=O1D=R，則在直角△OO1D中，OO12+OD2=O1D2，則（OP－O1P）2+OD2=O1D2，即（－R）2+（）2=R2，解得R=，故三棱錐P—DCE的外接球的體積為V=πR3=π．