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【題目】如圖所示,C上有n個不同的點P1,P2,…,Pn,設兩兩連接這些點所得線段PiPj,任意三條在圓內都不共點,試證它們在圓內共≥4).

【答案】見解析

【解析】分析:利用數學歸納法分兩步逐步證明即可.

詳解:設圓內的交點個數為P(n).

(1)當n=4時,則P(4)=1.

(2)假設當n=k時,P(k)k+1個點,且P1,P2,…,Pk,Pk+1按逆時針方向排列,依次連接Pk+1P1,Pk+1P2,…,可增加k條線段,分別考查這k條線段與此前圓內線段的交點個數:

與Pk+1P1:0個;

與Pk+1P2:k-2個(分別與P1P3,P1P4,…,P1Pk交得);

與Pk+1P3:2(k-3)個(分別與P1P4,P1P5,…,P1Pk,P2P4,…,P2Pk交得);

與Pk+1P4:3(k-4)個(分別與P1P5,…,P1Pk,…,P3Pk交得);

與Pk+1Pk-1:(k-2)×1個(分別與P1Pk,P2Pk,…,Pk-2Pk交得),

故總共增加:1(k-2)+2(k-3)+3(k-4)+…+(k-2)[(k-1)-(k-2)]=k+2k+…+(k-2)k-[1×2+2×3+3×4+…+(k-2)(k-1)]個交點,得P(k+1)n=k+1時命題成立.

根據(1)(2)可知,對一切n≥4的自然數n命題都成立.

練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角A﹣BC﹣C,有如下四個結論:
①AC⊥BD;②△ABC是等邊三角形;
③AB與CD所成的角90°;④二面角A﹣BC﹣D的平面角正切值是
其中正確結論是 .(寫出所有正確結論的序號)

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【題目】如圖,四邊形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD= ,BD⊥CD.將四邊形ABCD沿對角線BD折成四面體A′﹣BCD,使平面A′BD⊥平面BCD,則下列結論正確的是(

A.A′C⊥BD
B.∠BA′C=90°
C.CA′與平面A′BD所成的角為30°
D.四面體A′﹣BCD的體積為

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科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】(本題滿分12分)已知橢圓過點,且離心率為.

)求橢圓的方程;

為橢圓的左、右頂點,直線軸交于點,點是橢圓上異于

的動點,直線分別交直線兩點.證明:恒為定值.

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【題目】x2+y2=4的切線與x軸正半軸,y軸正半軸圍成一個三角形,當該三角形面積最小時,切點為P(如圖),雙曲線C1 過點P且離心率為

(1)求C1的方程;

(2)若橢圓C2過點P且與C1有相同的焦點,直線lC2的右焦點且與C2交于A,B兩點,若以線段AB為直徑的圓過點P,求l的方程.

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科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】北京、張家口2022年冬奧會申辦委員會在俄羅斯索契舉辦了發布會,某公司為了競標配套活動的相關代言,決定對旗下的某商品進行一次評估,該商品原來每件售價為25元,年銷售8萬件.

(1)據市場調查,若價格每提高1元,銷售量將相應減少2000件,要使銷售的總收入不低于原收入,該商品每件定價最多為多少元?

(2)為了抓住申奧契機,擴大該商品的影響力,提高年銷售量.公司決定立即對該商品進行全面技術革新和營銷策略改革,并提高定價到元.公司擬投入萬作為技改費用,投入50萬元作為固定宣傳費用,投入萬元作為浮動宣傳費用.試問:當該商品改革后的銷售量至少應達到多少萬件時,才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和?并求出此時商品的每件定價.

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科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】某地區上年度電價為/kWh,年用電量為kWh.本年度計劃將電價降低到055/ kWh075/ kWh之間,而用戶期望電價為040/ kWh.經測算,下調電價后新增用電量與實際電價與用戶的期望電價的差成反比(比例系數為),該地區電力的成本價為030/ kWh

1)寫出本年度電價下調后,電力部門的收益與實際電價之間的函數關系式;

2)設=,當電價最低定為多少時仍可保證電力部門的收益比上一年至少增長20%?(注:收益=實際電量×(實際電價-成本價))

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科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】下列四個命題:

命題a=0,ab=0”的否命題是a=0,ab≠0”;

已知命題p:x∈R,x2+x+1<0,p:x∈R,x2+x+1≥0;

若命題p”與命題“pq”都是真命題,則命題q一定是真命題;

命題0<a<1,loga(a+1)<lo.

其中正確命題的序號是_____.(把所有正確的命題序號都填上)

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【題目】某教師調查了名高三學生購買的數學課外輔導書的數量,將統計數據制成如下表格:

男生

女生

總計

購買數學課外輔導書超過

購買數學課外輔導書不超過

總計

(Ⅰ)根據表格中的數據,是否有的把握認為購買數學課外輔導書的數量與性別相關;

(Ⅱ)從購買數學課外輔導書不超過本的學生中,按照性別分層抽樣抽取人,再從這人中隨機抽取人詢問購買原因,求恰有名男生被抽到的概率.

附: .

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