Question

【題目】北京、張家口2022年冬奧會申辦委員會在俄羅斯索契舉辦了發布會，某公司為了競標配套活動的相關代言，決定對旗下的某商品進行一次評估，該商品原來每件售價為25元，年銷售8萬件．

（1）據市場調查，若價格每提高1元，銷售量將相應減少2000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價最多為多少元？

（2）為了抓住申奧契機，擴大該商品的影響力，提高年銷售量．公司決定立即對該商品進行全面技術革新和營銷策略改革，并提高定價到元．公司擬投入萬作為技改費用，投入50萬元作為固定宣傳費用，投入萬元作為浮動宣傳費用．試問：當該商品改革后的銷售量至少應達到多少萬件時，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時商品的每件定價．

Answer 1

【答案】（1）40元；（2）銷售至少達10.2萬件，每件定價30元.

【解析】

（1）設每件定價為x元，可得提高價格后的銷售量，根據銷售的總收人不低于原收入，建立不等式，解不等式可得每件最高定價；

（2）依題意，x＞25時，不等式ax≥25×8+50（x2﹣600）x有解，等價于x＞25時，ax有解，利用基本不等式，我們可以求得結論．

（1）設每件定價為t元，依題意得（8）x≥25×8，

整理得t2﹣65t+1 000≤0，解得25≤t≤40．

所以要使銷售的總收入不低于原收入，每件定價最多為40元．

（2）依題意知當x＞25時，不等式ax≥25×8+50（x2﹣600）x有解，

等價于x＞25時，ax有解．

由于x≥2 10，當且僅當，即x＝30時等號成立，所以a≥10.2．

當該商品改革后的銷售量a至少達到10.2萬件時，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和，此時該商品的每件定價為30元．