Question

已知O是△ABC的外心，AB=2，AC=1，∠BAC=120°．設=，=，若=m+n，則m-n=    ．

Answer 1

【答案】分析：建立直角坐標系，求出三角形各頂點的坐標，因為O為△ABC的外心，把AB的中垂線p方程和AC的中垂線q的方程，聯立方程組，求出O的坐標，利用已知向量間的關系，待定系數法求m和n的值．
解答：解：如圖：以A為原點，以AB所在的直線為x軸，建立直角系：
則A（0，0），B （2，0），C（-，），
∵O為△ABC的外心，
∴O在AB的中垂線p：x=1 上，又在AC的中垂線 q 上，
AC的中點（-，），AC的斜率為-，
∴中垂線q的方程為 y-=-（x+）．
把直線p和q的方程聯立方程組解得△ABC的外心O（1，），
由條件=m+n，
得（1，）=m（2，0）+n（-，）=（2m-n，n ），
∴2m-n=1，n=，
∴m=，n=，
∴m-n=-
故答案為：-
點評：本題主要考查了求兩條直線的交點坐標的方法，三角形外心的性質，向量的坐標表示及向量相等的條件，待定系數法求參數值，同時考查了運算求解的能力，屬中檔題．