Question

【題目】已知橢圓W： （b＞0）的一個焦點坐標為 ．
（Ⅰ）求橢圓W的方程和離心率；
（Ⅱ）若橢圓W與y軸交于A，B兩點（A點在B點的上方），M是橢圓上異于A，B的任意一點，過點M作MN⊥y軸于N，E為線段MN的中點，直線AE與直線y=﹣1交于點C，G為線段BC的中點，O為坐標原點．求∠OEG的大小．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵橢圓W： （b＞0）的一個焦點坐標為 ，
∴a=2，c= ，∴b= =1，
∴橢圓W的方程為 +y2=1．
離心率e= ．
（Ⅱ）設M（x0 ， y0），x0≠0，則N（0，y0），E（ ，y0），
又A（0，1），∴直線AE的方程為y﹣1= ，
令y=﹣1，則C（ ，﹣1），
又B（0，﹣1），G為BC的中點，∴G（ ，﹣1），
∴ =（ ）， =（ ，y0+1），
= （ ﹣ ）+y0（y0+1）
= ﹣ + +y0 ，
∵點M在橢圓P上，則 +y02=1，
∴ =4﹣4y02 ，
= =1﹣y0﹣1+y0=0，
⊥ ，
∴∠OEG=90°．
【解析】（Ⅰ）由橢圓W： （b＞0）的一個焦點坐標為 ，求出a，b，由此能求出橢圓W的方程和離心率．（Ⅱ）設M（x0 ， y0），x0≠0，則N（0，y0），E（ ，y0），從而直線AE的方程為y﹣1= ，令y=﹣1，則C（ ，﹣1），從而G（ ，﹣1），由點M在橢圓P上，得到 ⊥ ，由此能求出∠OEG．