Question

【題目】已知函數.

（1）若，證明:；

（2）若只有一個極值點，求的取值范圍，并證明:.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】試題分析：（1）構造函數利用導數易得，即證得結論，（2）研究導函數零點，先求導數，再根據導函數零點，根據a的正負分類討論：當時，單調，再根據零點存在定理得有且僅有一個零點；當時，先增后減，再根據零點存在定理得有且僅有兩個零點；最后研究極值點函數值范圍：繼續利用導數研究函數單調性，根據單調性確定取值范圍.

試題解析：（1）∵，∴要證，即證.

設，

令得，

且，單調遞増；，單調遞減，

∴，

即成立，也即.

（2）設，.

①當時，令得;.

，單調遞増；，單調遞減.

若，恒成立，無極值；

若，即，∴.

∵，∴由根的存在性定理知，在上必有一根.

∵，下證：當，.

令，∴.

當時，單調遞増；當時，單調遞減，

∴當時，，

∴當時，，即，

由根的存在性定理知，在上必有一根.

此時在上有兩個極值點，故不符合題意.

②當時，恒成立，單調遞增，

當時，；

當時，，下證：當時，.

令，∵在上單調遞減，∴，

∴當時，，

∴由根的存在性定理知，在上必有一根.

即有唯一的零點，只有一個極值點，且，滿足題意.

∴.

由題知，又，∴，

∴.

設，，

當，單調遞減，

∴，∴成立.