Question

19、如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，點D、E、F分別是BC、AC₁、BB₁的中點．
（1）求證：平面AC₁D⊥平面BCC₁B₁；
（2）求證：EF∥平面A₁B₁C₁．

Answer 1

分析：（1）根據三棱柱ABC-A₁B₁C₁為正三棱柱底面ABC為正三角形，D是BC的中點，可得AD⊥BC，結合正三棱柱的幾何特征，我們可得CC₁⊥AD，由線面垂直的判定定理可得AD⊥平面BCC₁B₁；
再由面面垂直的判定定理，即可得到答案．
（2）取A₁C₁的中點G，連接EG、B₁G，根據三角形中位線定理可得EG平行且等于AA₁平行且等于B₁F，進而得到EF∥B₁G，再由線面平行的判定定理，即可得到答案．

解答：證明：（1）在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵D是BC的中點，∴AD⊥BC
又CC₁⊥AD，∴AD⊥平面BCC₁B₁；
又∵AD?平面AC₁D
∴平面AC₁D⊥平面BCC₁B₁；
（2）取A₁C₁的中點G，連接EG、B₁G，
∵E、F分別是AC₁、BB₁的中點，
∴EG平行且等于AA₁平行且等于B₁F
∴四邊形EFB₁G為平行四邊形，
∴EF∥B₁G
又B₁G?平面A₁B₁C₁，∴EF∥平面A₁B₁C₁．

點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，熟練掌握空間中直線與平面平行和垂直的判定定理、性質定理、定義及幾何特征是解答本題的關鍵．