Question

（2013•濟南二模）設函數f(x)=sin(ωx+

π

3

)+sin(ωx-

π

3

)+

3

cosωx（其中ω＞0），且函數f（x）圖象的兩條相鄰的對稱軸間的距離為

π

2

．
（1）求ω的值；
（2）將函數y=f（x）的圖象上各點橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到函數y=g（x）的圖象，求函數g（x）在區間[0，

π

2

]的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）利用兩角和的正弦公式化簡函數f（x）的解析式為2sin(ωx+

π

3

)，再根據周期求得ω的值．
（2）由（1）得f（x）=2sin(2x+

π

3

)，再根據函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律求得g（x）=2sin(x+

π

3

)，由x∈[0，

π

2

]，根據正弦函數的定義域和值域求得函數g（x）在區間[0，

π

2

]的最大值和最小值．

解答：解：（1）由于f(x)=sinωx+

3

cosωx=2sin(ωx+

π

3

)．…（3分）
∵函數f（x）圖象的兩條相鄰的對稱軸間的距離為

π

2

，∴T=

2π

ω

=π．…（5分）
∴ω=2．…（6分）
（2）由（1）得f（x）=2sin(2x+

π

3

)，∴g（x）=2sin(x+

π

3

)．…（8分）
由x∈[0，

π

2

]可得

π

3

≤x+

π

3

≤

5

6

π，…（10分）
∴當x+

π

3

=

π

2

，即x=

π

6

時，g（x）取得最大值為 g(

π

6

)=2sin

π

2

=2；
當x+

π

3

=

5π

6

，即x=

π

2

時，g（x）取得最小值為 g(

π

2

)=2sin

5π

6

=1．…（12分）

點評：本題主要考查兩角和的正弦公式，函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，正弦函數的周期性、定義域和值域，屬于中檔題．