Question

如圖，直三棱柱ABCA₁B₁C₁的底面ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA₁=2，M、N分別是A₁B₁、A₁A的中點．
（1）求的模；
（2）求異面直線BA₁與CB₁所成角的余弦值；
（3）求證：A₁B⊥C₁M．

Answer 1

【答案】分析：（1）建立空間直角坐標系，求出B，N兩點的坐標，代入空間兩點間的距離公式，即可求出BN的長；
（2）求出=（1，-1，2），=（0，1，2），利用向量的夾角公式，即可求異面直線BA₁與CB₁所成角的余弦值；
（3）證明•=0，即可證明A₁B⊥C₁M．
解答：（1）解：以C為坐標原點，以、、的方向為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標系C-xyz，如圖
由題意得N（1，0，1），B（0，1，0），
∴||==．
（2）解：依題意得A₁（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B₁（0，1，2），C₁（0，0，2）．
∴=（1，-1，2），=（0，1，2），
∴=3．
∴||=，||=，
∴cos＜，＞==，
∴異面直線BA₁與CB₁所成角的余弦值為．
（3）證明：∵=（-1，1，-2），=（，，0），
∴•=-1×+1×+（-2）×0=0，
∴⊥，即A₁B⊥C₁M．
點評：本題考查直線與直線垂直，考查線線角，其中建立空間坐標系，將線線垂直，線線角問題轉化為向量夾角問題是解答本題的關鍵．