Question

已知點P是圓C：x²+y²=1外一點，設(shè)k₁，k₂分別是過點P的圓C兩條切線的斜率．
（1）若點P坐標(biāo)為（2，2），求k₁•k₂的值；
（2）若k₁•k₂=-1求點P的軌跡M的方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)過點P的切線斜率為k，由P的坐標(biāo)表示出切線方程，由此直線與圓相切，得到圓心到切線的距離等于圓的半徑，利用點到直線的距離公式列出關(guān)于k的方程，利用韋達(dá)定理即可求出兩根之積k₁•k₂的值；
（2）設(shè)點P坐標(biāo)為（x₀，y₀），由兩切線斜率的乘積為-1得到兩切線垂直，|OP|的距離為半徑的

2

倍，利用兩點間的距離公式即可表示出M的方程．

解答：解：（1）設(shè)過點P的切線斜率為k，方程為y-2=k（x-2），即kx-y-2k+2=0，
其與圓相切可得

|2k-2|

k2+1

=1，
化簡得3k²-8k+3=0，
∵k₁，k₂就是此方程的根，
∴k₁•k₂=1；
（2）設(shè)點P坐標(biāo)為（x₀，y₀），
∵k₁•k₂=-1，
∴兩條切線垂直，
∴|OP|=

2

，即x₀²+y₀²=2，
則所求的曲線M的方程為圓x²+y²=2．

點評：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識有：點到直線的距離公式，兩點間的距離公式，直線垂直時斜率滿足的關(guān)系，以及直線的點斜式方程，是一道中檔題．