Question

【題目】如圖，正方形ACDE所在的平面與平面ABC垂直，M是CE和AD的交點，AC⊥BC，且AC=BC．
（Ⅰ）求證：AM⊥平面EBC；
（Ⅱ）求二面角A﹣EB﹣C的大小．

Answer 1

【答案】解：方法一：幾何法：
（Ⅰ）證明：∵四邊形ACDE是正方形，∴AM⊥EC，
又∵平面ACDE⊥平面ABC，∴AC⊥BC，
∴BC⊥平面EAC，
∵BC平面EAC，∴BC⊥AM，
又∵EC∩BC=C，∴AM⊥平面EBC．
（Ⅱ）解：過A作AH⊥EB于H，連結HM，
∵AM⊥平面EBC，∴AM⊥EB，∴EB⊥平面AHM，
∴∠AHM是二面角A﹣EB﹣C的平面角，
∵平面ACDE⊥平面ABC，∴EA⊥平面ABC，∴EA⊥AB，
在Rt△EAB中，AH⊥EB，有AEAB=EBAH，
設EA=AC=BC=2a，得，AB=2 a，EB=2 a，∴ = ，
∴sin = ，∴∠AHM=60°．
∴二面角A﹣EB﹣C等于60°．
方法二：向量法

（Ⅰ）證明：∵四邊形ACDE是正方形，∴EA⊥AC，
∵平面ACDE⊥平面ABC，EA⊥平面ABC，
∴以點A為原點，以過A點平行于BC的直線為x軸，
分別以直線AC和AE為y軸和z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系A﹣xyz，
設EA=AC=BC=2，則A（0，0，0），C（0，2，0），E（0，0，2），
M是正方形ACDE的對角線的交點，M（0，1，1），
=（0，1，1）， =（0，2，﹣2）， ，
∴ ，∴AM⊥EC，AM⊥BC，
又EC∩BC=C，∴AM⊥平面EBC．
（Ⅱ）設平面EAB的法向量為 ，則 ，
∴ ，取y=﹣1，則x=1，則 =（1，﹣1，0），
又∵ 為平面EBC的一個法向量，
∴cos＜ ＞= =﹣ ，
設二面角A﹣EB﹣C的平面角為θ，則cosθ=|cos＜ ＞|= ，∴θ=60°，
∴二面角A﹣EB﹣C等于60°．
【解析】幾何法：（Ⅰ）由已知得AM⊥EC，AC⊥BC，由此能證明AM⊥平面EBC．（Ⅱ）過A作AH⊥EB于H，連結HM，由已知得∠AHM是二面角A﹣EB﹣C的平面角，由此能求出二面角A﹣EB﹣C的大小． 向量法：（Ⅰ）以點A為原點，以過A點平行于BC的直線為x軸，分別以直線AC和AE為y軸和z軸，建立空間直角坐標系A﹣xyz，利用向量法能證明AM⊥平面EBC．（2）求出平面EAB的法向量和平面EBC的法向量，利用向量法能求出二面角A﹣EB﹣C的大小．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用直線與平面垂直的判定的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想．