Question

如圖1所示，Rt△ABC中，BC=2，CA=3，點P在線段AB上，將△BPC沿CP折成直二面角S-CP-A（點B與點S重合），且SA=（圖2）．

（1）求∠SCP的度數；
（2）求二面角P-SC-A的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）建立空間直角坐標系，用坐標表示，利用SA=，即可求得∠SCP的度數；
（2）平面PSC的法向量為，平面ASC的法向量為，利用向量的夾角公式，即可求得二面角P-SC-A的余弦值．
解答：解：（1）建立如圖所示的空間直角坐標系，設∠SCP=α，則A（2cosα-3sinα，3cosα，-2sinα），C（2cosα，0，0），S（0，0，2sinα）
∴=（2cosα-3sinα，3cosα，-2sinα），
∴==，∴sin2α=1，∴α=
（2）平面PSC的法向量為
設平面ASC的法向量為
∵
∴，∴取
∴cos==
∴二面角P-SC-A的余弦值為．
點評：本題考查利用空間向量解決立體幾何問題，考查面面角，正確求出平面的法向量是關鍵．