Question

口袋里裝有大小相同的4個紅球和8個白球,甲、乙兩人依規則從袋中有放回地摸球,每次取出一個球,規則如下:若一方摸出一個紅球,則此人繼續下一次摸球;若一方摸出一個白球,則由對方接替下一次摸球,且每次摸球彼此相互獨立,并由甲進行第一次摸球.

(1)求在前三次摸球中,甲摸得紅球的次數ξ的數學期望;

(2)設第n次由甲摸球的概率為a_n,試建立a_n+1與a_n的遞推關系.

Answer 1

解:(1)記“甲摸球一次摸出紅球”為事件A,“乙摸球一次摸出紅球”為事件B,則P(A)=P(B)=,P()=P()=,且A、B相互獨立.據題意,ξ的可能取值為0,1,2,3,且

P(ξ=0)=P(·B)+P(·B·)=×+()³=,

P(ξ=1)=P(A·)+P(··A)=×+×()²=,

P(ξ=2)=P(A·A·)=()²×=,

P(ξ=3)=P(A·A·A)=()³=,

∴Eξ=0×+1×+2×+3×=.

(2)據摸球規則可知,第n次由甲摸球包括如下兩個事件:

①第n-1次由甲摸球,且摸出紅球,其發生的概率為a_n-1×;

②第n-1次由乙摸球,且摸出白球,其發生的概率為(1-a_n-1)×.

∵上述兩個事件互斥,

∴a_n=a_n-1+(1-a_n-1),

即a_n=a_n-1+(n≥2).