Question

口袋里裝有大小相同的4個紅球和8個白球，甲、乙兩人依規則從袋中有放回摸球，每次摸出一個球．規則：若一方摸出紅球，則此人繼續摸球；若一方摸出白球，則由對方下一次摸球．每次摸球都相互獨立，并由甲先進行第一次摸球．
（1）求第三次由甲摸球的概率；
（2）寫出在前三次摸球中，甲摸得紅球的次數的分布列，并求數學期望．

Answer 1

分析：（1）根據題意可得：事件“第三次由甲摸球”包含以下兩種情況：①甲前2次都摸到紅球，則第3次仍然由甲摸球，②甲首先摸到白球，乙再摸到白球，而第3次則由甲摸球，再分別根據題意與相互獨立事件的概率乘法公式求出其發生的概率即可得到答案．
（2）設甲摸到紅球的次數為ξ，根據題意知ξ的可能取值為0，1，2，3，再結合題意與相互獨立事件的概率乘法公式分別求出其發生的概率，進而算出ξ的數學期望．

解答：解：（1）根據題意可得：事件“第三次由甲摸球”包含以下兩種情況：①甲前2次都摸到紅球，則第3次仍然由甲摸球，并且其概率為：

1

9

；
②甲首先摸到白球，乙再摸到白球，而第3次則由甲摸球，并且其概率為：

4

9

，
所以P(第三次由甲摸球)=

1

9

+

4

9

=

5

9

…（5分）
（2）記“甲摸球一次摸出紅球”為事件A“乙摸球一次摸出紅球”為事件B，
則 P(A)=P(B)=

4

4+8

=

1

3

，P(

.

A

)=P(

.

B

)=

2

3

，并且根據題意可得：A，B是相互獨立事件．
設甲摸到紅球的次數為ξ，根據題意知ξ的可能取值為0，1，2，3，
所以P(ξ=0)=P(

.

A

•B)+P(

.

A

•

.

B

•

.

A

)=

2

3

×

1

3

+(

2

3

)3=

14

27

，P(ξ=1)=P(A•

.

A

)+P(

.

A

•

.

B

•A)=

1

3

×

2

3

+(

2

3

)2×

1

3

=

10

27

，
P(ξ=2)=P(A•A•

.

A

)=(

1

3

)2×

2

3

=

2

27

，P(ξ=3)=P(A•A•A)=(

1

3

)3=

1

27

．
∴ξ的分布列為

∴數學期望 Eξ=0×

14

27

+1×

10

27

+2×

2

27

+3×

1

27

=

17

27

．

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握相互獨立事件的概率乘法公式，以及離散型隨機變量的分布列與數學期望，此題屬于中檔題，是近幾年高考命題的熱點之一．